COMPETENCIAS ESPECIFICAS

• Establece, a partir de los diferentes teoremas, los valores máximos y mínimo, los intervalos decrecimiento y decrecimiento, las concavidades y los posibles puntos de inflexión de una función para aplicarlos en el trazado de su gráfica
• Analiza el comportamiento de las funciones por medio del cálculo diferencial y calcula sus extremos relativos los que tienen aplicación en problemas reales
• Desarrolla habilidades para interpretar el comportamiento de funciones de acuerdo a sus análisis por medio de las derivadas.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

• Calcula la derivada de una función real sobre la base de la definición
• Calcula las derivadas aplicando las distintas reglas de derivación
• Interpreta y gráfica una función real aplicando derivadas
• Calcula la derivada de una función de dos variables sobre la base de la definición
• Aplica el concepto de derivada y sus diferentes teoremas para resolver los máximos y mínimos
• Utiliza la regla de L´Hôpital para calcular limites con indeterminaciones especificas.

TEOREMA DE ROLLE

Sea f una función continua e el intervalo [a,b] y derivable en el intervalo ]a,b[ tal que f(a)=f(b).Entonces existe al menos un punto c ∈ (a,b)tal que f´(c)=0

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Sea una funcion continua en el intervalo [a,b], derivable en el intervalo ]a,b[. Entonces existe un punto c ∈(a,b) tal que:

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Una función es creciente en un intervalo dada si para dos números cualesquiera x1 y x2 se tiene que x1 < x2=>f(x1) < f(x2) y es decreciente si x1 < x2=>f(x1) > f(x2)

si f´(x) > 0 . f(x) es creciente en (a,b)

si f´(x) < 0 . f(x) es decreciente en (c,b)

si f´(x) = 0 . f(x) es constante en (b,c)

VALOR CRITICO

Valor critico de una función es todo punto c de la misma para el cual f¨(c)=0 o bien f¨(c) no existe

EXTREMOS RELATIVOS, CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Un máximo relativo de una función es todo punto c, f(c) de (a,b), para el cual se cumple que

f(x) < f(c)para todo x de (a,b).

Un mínimo relativo de una función es todo punto c, f(c) de (a,b), para el cual se cumple que

f(x) > f(c)para todo x de (a,b).

Una función tiene un mínimo y máximo relativo en un punto c cuando es un valor critico de f.

CONCAVIDAD, CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Sea f una función cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b). Entonces:

• si f´´(x) > 0 para todo x en (a,b) , la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b)
• si f´´(x) < 0 para todo x en (a,b) , la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b)

Si ademas la función contiene un punto c tal que f´(c)=0 entonces:

• si f´´(c) > 0 , f(c) es un mínimo relativo
• si f´´(c) < 0 , f(c) es un máximo relativo

PUNTOS DE INFLEXIÓN

Si la gráfica de una función continua posee una tangente en un punto en la que su concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo , o viceversa, este punto se denomina punto de inflexión

si (c,f(c)) es un punto de inflexión, entonces o bien f´´(c)=0 o f´´(c) no existe

Ejemplo: Determinar máx y min. relativos, puntos de inflexión y grafique

f(x)=2 x³ + 3 x ² - 12 x

Solucion:

- Se calcula  y´ y se iguala a cero, y´ =6 x ²+ 6 x - 12 = 0

- La ecuación 6 x ²+ 6 x - 12 = 0 tiene por raíces 1 y - 2.

- Se calcula la segunda derivada f"(x) = 12 x + 6

*Para x = 1, f" (1) = 12 + 6 =18 > 0. En x = 1, (1, -7), hay un mínimo.

*Para x = - 2, f" (- 2) = 12(-2) + 6 = - 18 < 0. En x = - 2, (-2, 20), hay un máximo.

Ya está resuelto, solo quieres saber cómo se encuentran las raíces (1 y -2).
Y también como se encontraron los puntos:
(1, -7) y (-2, 20)

Las raíces las encuentras factorizando la primera derivada; es decir igualando a cero la primera derivada eso te da x=1 y x=-2.
Los puntos o coordenadas (1, -7) y (-2, 20) las encuentras sustituyendo el valor de tus raíces en la función original. 

f(1) = 2 (1)³ + 3 (1) ² - 12 (1) = -7
f(-2) = 2 (-2)³ + 3 (-2) ² - 12 (-2)= 20
De esa manera consigues los puntos y las raíces. También es importante que  saber si tu punto es un máximo o un mínimo debes sustituir tus raíces en la 2da DERIVADA y si el resultado es mayor que cero es un mínimo y si es menor que cero hay un máximo.

Gráfica

Hallar máximos y mínimos puntos de inflexión y graficar

y=x^2+1/x^2  

y=x^4+1/x^2

y´=2x-2x^-1  => 2x-(2/x^3)=0

2x^4-2=0 => x=+ (raiz 4 de 1)= + 1

y´´=2+6x^-4

f''(1) > 0 f´´(-1) >0

Existen 2 mínimos en x=1 y=2; x=-1 y =2

La función es simétrica al eje y

Tiene una síntoma vertical en x=0

Hallar los extremos relativos y graficar

f(x) = 2xe^-x+4 en [-1,1]

Resp.Máx (1,(2/e)+4) Min(-1,-2e+4)

f´(x) = (2e^-x )-2xe^-x= (2e^-x)(1-x) = 0

valor crítico: x=1

f´´(x) = 2e^-x -2e^-x + 2e^-x = 2e^-x (x-2)

f´´(1) = (2e^-1)(-1)= -2e^-1

como es mayor a cero la función tiene un maximo en x=1; y=4,73

GRAFICAR

EJERCICIO

Determinar los etremos relativos, puntos de inflexion

1 .- f(x)= x^3 -6x^2 +15

Resp. Maximo relativo (0,15); Minimo relativo (4,-17)

2 .- f(x) = x^(1/3)  +1

Resp. No tiene extremos.

3 .- f(x) = (x^2  - 2x + 1)/(x+1)

Resp. Maximo relativo (-3,-8); Minimo relativo (1,0)

4 .- Hallar a,b,c,d tales que la funcion f(x) =ax^3 +bx^2+cx+d tenga un minimo reltativo en (0,0) y un maximo relativo en (2,2)

Resp. a=-12  ;  b=3/2  ;  c=d=0.